Introduction à l’analyse et à la commande des systèmes non linéaires PDF

Les graphes de liaisons sont basés sur le principe de la conservation de la puissance. Le graphe de liaisons est un outil mathématique utilisé en ingénierie des systèmes. Il permet de modéliser un système piloté afin d’optimiser son dimensionnement et la conception de ses lois de commande. Cette causalité est rajoutée une fois que le schéma initial a été construit, ce qui permet entre autres de détecter des introduction à l’analyse et à la commande des systèmes non linéaires PDF modélisés qui ne sont pas physiques tels qu’imposer un courant dans une bobine, la vitesse d’un volant d’inertie, etc.


Cet ouvrage présente les fondements de l’analyse et de la synthèse de la loi de commande pour les systèmes non linéaires. Consacrée à l’analyse, la première partie aborde la détermination de l’amplitude et de la fréquence des cycles limites par la méthode du premier harmonique. Il présente la définition de la stabilité, au sens de Lyapunov, pour les points d’équilibre, et les théorèmes associés. La propriété de passivité et ses conséquences sont développées permettant de garantir la stabilité d’un système linéaire comportant une non-linéarité de type statique. Abordant la synthèse, la troisième partie met l’accent sur les techniques de linéarisation. Il est question de la technique de linéarisation entrée-sortie et celle de la linéarisation entrée-état par bouclage et changement de coordonnées. On y précise également comment les théorèmes de stabilité au sens de Lyapunov permettent d’établir des lois de commande associées. Dans cette optique, les systèmes composites et ceux en cascade sont examinés, et en particulier la technique dite du backstepping. Ces deux parties sont reliées par les outils de géométrie différentielles, objets de la deuxième partie comprenant l’exposition des concepts de variété différentiable, de difféomorphisme, de champs de vecteurs, de dérivée de Lie et du crochet de Lie de deux champs de vecteurs. Un accent particulier est mis sur la notion duale, c’est-à-dire celle des 1-forme différentielles, ce qui rend possible, outre une démonstration élégante du théorème de Frobenius utilisé pour la linéarisation exacte dans la partie consacrée à la synthèse, l’exposition de plusieurs méthodes d’intégration de 1-formes exactes et intégrables, dont la méthode des gradients variables est issue qu’on utilise lors de la construction de fonctions de Lyapunov dans la partie consacrée à l’analyse. Comblant une lacune en langue française, rigoureux au niveau mathématique, l’ouvrage s’adresse aux étudiants (niveau Master) ainsi qu’aux ingénieurs praticiens et aux scientifiques intéressés non spécialistes.

Si la dynamique du système à modéliser opère sur différentes échelles de temps, les comportements rapides en temps réel peuvent être modélisés comme des phénomènes instantanés en utilisant des graphe de liaisons hybrides. Les échanges entre nœuds sont décrits par deux paramètres : le flux et l’effort. Le sens de la flèche indique le signe positif de la puissance, c’est-à-dire si la puissance est comptée positive en entrée ou en sortie. Les lois régissant les nœuds relient souvent le flux et l’effort. Si la résistance est connectée à une source de tension, alors la source impose u, et la résistance détermine i.

Pour indiquer cela sur le graphe, on place une barre à l’extrémité de la flèche qui définit le flux. Se pour une source d’effort, Sf pour une source de flux, R pour un élément dissipatif. Un nœud peut aussi représenter une loi physique liée au système et non à un élément particulier. Une loi qui impose une même valeur d’effort e à plusieurs autres nœuds est appelée jonction de type 0. Une loi qui impose une même valeur de flux f à plusieurs autres nœuds est appelée jonction de type 1. Si l’on prend l’exemple d’un circuit RLC série, alors le circuit n’a qu’une seule branche.

La loi des mailles impose une même valeur de l’intensité à tous les éléments, il s’agit d’une jonction de type 1. Si le circuit est parallèle, alors la loi des nœuds impose une même valeur de la tension à tous les éléments, il s’agit d’une jonction de type 0. Notons que les sens des flèches dépendent des conventions de signe choisies pour les circuits. Les graphes de liaisons représentent le transfert de puissance entre éléments, donc ils conviennent parfaitement pour modéliser des systèmes qui relient plusieurs domaines de la physique tels que l’électricité et la mécanique.

Mais avant de se lancer dans la modélisation, il faut définir une notion de puissance pour chacun des domaines. Il est nécessaire de définir certaines notions de physique. La puissance La puissance est le produit d’un flux par un effort. Le moment C’est une notion causale liée à l’effort. Ses valeurs futures sont liées à son passé par une intégration. Le déplacement C’est une notion causale liée au flux. Grâce à ces définitions, nous allons pouvoir définir pour chaque domaine de la physique, la grandeur associée à ces définitions.

Cet élément permet de symboliser les transferts d’énergie entre les différents processeurs. On peut remarquer deux éléments sur cette liaison. La lettre e représente la composante effort de la liaison. La lettre f représente la composante flux de la liaison. La multiplication de ces deux termes doit donner la puissance qui transite par la liaison. Cet élément est orienté dans le sens où la puissance est positive.

De plus, ces sources peuvent avoir des discontinuités sur la grandeur qu’elles ne garantissent pas. On considère que ces sources sont parfaites, même si cela constitue une approximation par rapport au phénomène réel. L’élément dissipatif est représenté par un R. C’est un objet qui relie le flux et l’effort par une relation indépendante du temps, une fonction mathématique. Physiquement, il correspond à un objet dissipatif. Par exemple une résistance dans le cas électrique, un frottement visqueux dans le cas mécanique.